也談數學“黑洞”——關於卡普雷卡爾常數 金彈子 (原創) http://blog.sina.com.cn/s/blog_4d0579fe01000955.html
美國數學教授Michael W Ecker在《數學“黑洞”》一文中對卡普雷卡爾常數(Kaprekar,s constant)描述道：取任何一個4位數（4個數字均為同一個數字的例外），將組成該數的4個數字重新組合成可能的最大數和可能的最小數，再將兩者的差求出來；對此差值重複同樣的過程（例如：開始時取數8028，最大的重新組合數為8820，最小的為0288，二者的差8532。重複上述過程得出8532－2358＝6174），最後總是達到卡普雷卡爾黑洞：6174。 （見美國《新科學家》，1992，12，19，p38。中國《參考消息》，1993，3，14-17）
稱之“黑洞”是指再繼續運算，都重複這個數，“逃”不出去。
但是，4位數以外的其它位數的數有沒有“黑洞”？如果有,它們之間有沒有什麼規律性？還有沒有其它更多的內容? 《數學“黑洞”》沒有說到。本文就是對這些進行討論。
我在這裡把以上計算得出卡普雷卡爾常數的過程簡稱運算，這個現象稱歸斂，其結果6174稱歸斂結果。以下討論，限於自然數（正整數）。
一、 4位數以外的其它位(任意位)的數的歸斂
舉一些位數的數的運算結果如下：
例1－1 如卡氏常數所述，所有的4位數經運算都歸斂到6174。
例1－2 所有7位數經運算都歸斂到數組
8，429，652
7，619，733
8，439，552
7，509，843
9，529，641
8，719，722
8，649，432
7，519，743
例1—3 所有10位數經運算都歸斂到以下2個數和5個數組：
2個數是: 1) 9，753，086，421
2) 6，333，176，664
5個數組是:
1)
8，655，264，432
6，431，088，654
8，732，087，622
2)
6，433，086，654
8，332，087，662
8，653，266，432
3)
8，765，264，322
6, 543,086, 544
9，751，088，421
4)
9，775，084，221
9，755，084，421
8，321，088，762
5)
8，633，086，632
8，633，266，632
6，433，266，654
4，332，087，666
8，533，176，642
7，533，086，643
8，433，086，652
此外:
一位數的歸斂數是0(沒有意義)。
二位數的歸斂數是9，但已不是2位數。以後的討論均不含它們。
三位數的歸斂數是495，其特殊性後面述及。
通過運算知道，任意n位的數經運算後都能歸斂到三類結果，可能是一個數（稱歸斂數），或是一個數組（稱歸斂組），或若干個數和數組兼而有之。少數歸斂結果是唯一的，如3位數、4位數、7位數，其它則不是唯一的，但其個數是可以確定的有限個數。得到歸斂結果以後，繼續運算也是“逃”不出這些歸斂結果的。任意n位的數各位數字相同時(各有9個)，運算結果為0。可視0為它們的特殊歸斂結果,這個歸斂結果沒有意義。這個結論是本文最重要的結論之一。
要計算任意n位數的歸斂結果，理論上必須對該n位數的所有數進行運算，實際上不可能也沒有必要。分析可知，只須少量運算即可得出。例如：
5位數不必運算9×104 個數(10的4次方)，只須運算54個數。
10位數不必運算9×109 個數(10的9次方)，只須運算2001個數。
17位數不必運算9×1016個數(10的16次方)，只須運算48，049個數（或更少）。等等。
二、 歸斂結果之間的聯繫和派生現象
歸斂結果之間是互相有相關關係的.
1．聯繫位數較少的n位數的歸斂結果可按一定規律嵌入一些特定的數字（以下用黑體字表示）後，派生成位數較多的N位數（N＞n）的歸斂結果。原n位數的歸斂結果稱N位的數根。
用符號К跟在嵌入數後，表示嵌入К個相同的數。如3К表示嵌入К個3，當К＝5，表示嵌入5個3：33333。 К為≥0的任意整數。舉例如下。
第一類 歸斂數派生歸斂數
例2—1—1
4位歸斂數 6174 逐次嵌入3和6這2個數，分別得到6位、8位……的歸斂數。
6位： 6 3 17 6 4，
8位： 6 33 17 66 4，
……
N位： 6 3К 17 6К 4 N＝4＋2К
6174 稱為它們的數根.
例2—1—2 8位歸斂數 97，508，421 逐次嵌入 9和 0 這 2個數，分別得到 10位、12位…… 的歸斂數。
10位： 9，9 75，084，2 0 1
12位： 9 99，750，842，00 1
……
N位： 9 9К 750842 0К 1 N＝8＋2К
97，508，421 稱為它們的數根.
例2—1—3 8位歸斂數97，508，421逐次嵌入7，2、5，4、1，8這6個數後分別得到14位、20位…… 的歸斂數。
14位： 97，7 5 5，1 08，8 4 4，2 21
20位：97，77 5，55 1，1 08，88 4，4 4 2，2 21
……
N位： 97 7К 5 5К 1К 08 8К 4К 4 2К 21
N＝8＋6К
97，508，421 稱為它們的數根.
例2—1—4 17位歸斂數98，765，420，987，543，211逐次嵌入8，6，4，2，9，7，5，3，1這9個數後分別得到26位、35位…… 的歸斂數。
26位： 98，876，654，422，099，877，554，332，111
35位：98，887，666，544，4 2 2，2 09，99 8，777，555，433，321，111
……
N位：98 8К 76 6К 54 4К 2 2К 09 9К 8 7К 7 5К 54 3К 32 1К 11
N＝17＋9К
98，765，420，987，543，211稱為它們的數根.
例2—1—5 3位歸斂數495逐次嵌入5，9，4（僅第一次嵌入略不同，後述）後，分別得到6位、9位…… 的歸斂數。
6位： 549,94 5 (第一次嵌入略不同)
9位： 5 5 4，9 99，44 5
……
N位： 5 5К 49 9К 4К 5 N＝3＋3К
549,945稱為它們的數根.
第二類 由歸斂數派生歸斂
例2—2—1 8位歸斂數97，508，421分別逐次嵌入數組
7，2
5，4
1，8
後，分別得到10位、12位…… 的歸斂組（注：嵌入形式有別於例2—1—3）。
10位：
9，7 7 5，084，2 21
9，75 5，08 4，421
9，751，08 8，421
12位：
97 7，7 50，84 2，2 21
975，55 0，8 44，421
975，11 0，8 88，421
……
N位：
97 7К 5084 2К 21
975 5К 08 4К 421
975 1К 08 8К 421
N＝8+2К
97，508，421稱為它們的數根.
第三類 由歸斂組派生歸斂組
例2—3—1 8位數歸斂組
86，526，432
64，308，654
83，208，762
各數對應逐次嵌加數組
5，4
1, 8
7，2
後分別得到10位、12位…的歸斂組。
10位：
8，65 5，26 4，432
6，43 1，08 8，654
8，7 32，087，6 2 2
12位：
865，55 2，6 44，432
643，11 0，8 88，654
877，320，876，22 2
N位：
865 5К 26 4К 432
643 1К 08 8К 654
8 7К 320876 2К 2
……
N＝8＋2К
原8位數歸斂組
86，526，432
64，308，654
83，208，762
就稱為它們的數根.
例2—3—2 11位歸斂組
96，641，975，331
88，431，976，512
87，641，975，322
86，541，975，432
86，420，987，532
各數分別逐次嵌入8，6，4，2，9，7，5，3，1這9個數後分別得到20位、29位、38位…… 的歸斂組。
20位
98，666，44 2，19 9，7 75，5 3 3，31 1
88，864，4 32，19 9，7 76，5 53，1 12
8 8，76 6，4 4 2，19 9，7 75，53 3，212
8 8，6 6 5，4 42，19 9，7 75，54 3，31 2
8 8，6 6 4，4 2 2，09 9，8 7 7，5 5 3，3 1 2
……
N位:
9 8К 66 6К 4 4К 2К 19 9К 7 7К 5К 5 3К 33 1К 1
88 8К 6К 4 4К 3 2К 19 9К 7 7К 6 5К 5 3К 1К 12
8 8К 76 6К 4 4К 2К 19 9К 7 7К 5К 5 3К 32 1К 2
8 8К 6 6К 54 4К 2К 19 9К 7 7К 5К 54 3К 3 1К
8 8К 6 6К 4 4К 2 2К 09 9К 8 7К 7 5К 5 3К 3 1К 2
N＝11＋9К
原11位歸斂組
96，641，975，331
88，431，976，512
87，641，975，322
86，541，975，432
86，420，987，532
就稱為它們的數根.
第四類 由歸斂組派生歸斂數
例3—1—4 17位歸斂組
97，665，420，，987，543，321
98，654，320，987，654，311
98，764，320，987，653，211
98，765，431，976，543，211
88，754，320，987，654，212
這歸斂組5個數中任何一個數嵌入(7，2)、(5，4)、(1，8)當中的任何一個數對，經運算後均得到19位歸斂數9，876， 543，209，876，543，211。繼續嵌加，則又成為前述第二類派生。
2. 基礎數根
由上述可知,任意N位數的歸斂結果都是較少n位數的歸斂結果嵌加某些數派生而成（即如前述），因此，這些較少n位數的歸斂結果是派生所有任意N位數歸斂結果的基礎，稱它們為基礎數根。這又是本文的重要結論之一。
它們是以下8個：
1） n＝4 6，174
2） n＝6 549，945
3） ( n＝6 )數組
860，832
862，632
642，654
420，876
851，742
750，843
840，852
4） n＝8 97，508，421
5） (n＝8 )數組
86，526，432
64，308，654
83，208，762
6） n＝9 864，197，532
7） n＝11 數組
86，420，987，532
96，641，975，331
88，431，976，512
87，641，975，322
86，541，975，432
8） n＝13 數組
8，733，209，876，622
9，665，429，654，331
3．層狀組數結構
從歸斂結果可以看出，它們形成了有規律的層狀組數結構。
把奇位歸斂數的中間那個數稱中位數，偶位的中間那兩個數稱中位數，中位數的前段數字稱前段，後段數字稱後段。
中位數前、後相同位數上的兩個數稱數層，兩數之和稱層和。層和為8的層及其包容的所有數稱數核。層和為9的層稱普通層。唯有最外層的層和為10，稱飽和層。
例如 864，197，532 : 是9位數，屬奇位。 9稱中位數；197稱數核，864稱前段，532稱後段；(8，2)稱飽和層，(6，3)、(4，5)稱普通層。
9，975，084，201 : 是10位數，屬偶位。 08稱中位數；08又稱數核。 9975稱前段，4201稱後段；(9，1)稱飽和層，(9，0)、(7，2)、(5，4)稱普通層。
555，499，994，445 : 是12位，屬偶位。 99為中位數；499994稱數核。 555稱前段，445稱後段；(5，5)稱飽和層，(5，4)、(5，4)稱普通層。
總之，所有的歸斂結果都呈層狀組數結構。唯有3位歸斂數495和5位數歸斂組之一的
59，994
53，995
尚未形成完整的層狀組數結構。
4．派生歸斂結果的嵌數規律
（1）嵌入數 嵌入的數是特定的，共有3類。
第一類是數對型，有兩對： 1）9，0 2）3，6
第二類是數組型，有一組：
7，2
5，4
1，8
第三類是數字型，有兩個：
1） 5 9 4
2） 8 6 4 2 9 7 5 3 1
（2）嵌入方法
1）嵌入數的一部分嵌入前段中大於或等於嵌入數的最末一個數字的後鄰位置。另一部分嵌入後段相應位置_____使與嵌入前段的數形成層狀組數結構。
數對型：(9,0)、(3,6)的奇數9，3嵌入前段，偶數0，6嵌入後段。見例2—1—1， 2—1—2。
數組型： 7,2
5,4
1,8
的奇數7，5，1嵌入前段，偶數2，4，8嵌入後段。見例2—1—3， 2—2—1。
數字型：9嵌入數核，8642分開嵌入前段，7531分開嵌入後段。見例2—1—4，2—3—2。
594只能嵌入n＝3＋3К 這類數。 9嵌入數核，5嵌入前段，4嵌入後段。見例2—1—5。
2）飽和層外不能嵌加。 3位歸斂數的最外層層和為9，尚未 “飽和”，視為可嵌加，如例2—1—5。嵌加一次成6位數，最外層飽和了，以後則按上述規律派生。所以本文把549945而不是495作為基礎數根。
3）(9，0)、(3，6)兩對數可以獨對、兩對嵌入或與數組型、數字型組合嵌入。
4）數組
7，2
5，4
1，8
必須“配套”嵌入並按順序:
(7，2)→(5，4)→(1，8)
或 (5，4)→(1，8)→(7，2)
或 (1,8) →(7,2) →(5,4)。
以8位數歸斂組
86，526，432
64，308，654
83，208，762
為例說明。
A，各數均可嵌入（3，6）К，得n＝8＋2К位數的歸斂組。
865 3К 26 6К 432
643 3К 08 6К 654
83 3К 2087 6К 62
B, 各數可對應嵌入
(7，2) К
(5，4 )К，
(1，8) К
得n＝8＋2К位數的歸斂組。
8 7К 652643 2К 2
6 5К 430865 4К 4
832 1К 08 8
歸斂結果之間是互相有相關關係的.
1．聯繫位數較少的n位數的歸斂結果可按一定規律嵌入一些特定的數字（以下用黑體字表示）後，派生成位數較多的N位數（N＞n）的歸斂結果。原n位數的歸斂結果稱N位的數根。
用符號К跟在嵌入數後，表示嵌入К個相同的數。如3К表示嵌入К個3，當К＝5，表示嵌入5個3：33333。 К為≥0的任意整數。舉例如下。
第一類 歸斂數派生歸斂數
例2—1—1
4位歸斂數 6174 逐次嵌入3和6這2個數，分別得到6位、8位……的歸斂數。
6位： 6 3 17 6 4，
8位： 6 33 17 66 4，
……
N位： 6 3К 17 6К 4 N＝4＋2К
6174 稱為它們的數根.
例2—1—2 8位歸斂數 97，508，421 逐次嵌入 9和 0 這 2個數，分別得到 10位、12位…… 的歸斂數。
10位： 9，9 75，084，2 0 1
12位： 9 99，750，842，00 1
……
N位： 9 9К 750842 0К 1 N＝8＋2К
97，508，421 稱為它們的數根.
例2—1—3 8位歸斂數97，508，421逐次嵌入7，2、5，4、1，8這6個數後分別得到14位、20位…… 的歸斂數。
14位： 97，7 5 5，1 08，8 4 4，2 21
20位：97，77 5，55 1，1 08，88 4，4 4 2，2 21
……
N位： 97 7К 5 5К 1К 08 8К 4К 4 2К 21
N＝8＋6К
97，508，421 稱為它們的數根.
例2—1—4 17位歸斂數98，765，420，987，543，211逐次嵌入8，6，4，2，9，7，5，3，1這9個數後分別得到26位、35位…… 的歸斂數。
26位： 98，876，654，422，099，877，554，332，111
35位：98，887，666，544，4 2 2，2 09，99 8，777，555，433，321，111
……
N位：98 8К 76 6К 54 4К 2 2К 09 9К 8 7К 7 5К 54 3К 32 1К 11
N＝17＋9К
98，765，420，987，543，211稱為它們的數根.
例2—1—5 3位歸斂數495逐次嵌入5，9，4（僅第一次嵌入略不同，後述）後，分別得到6位、9位…… 的歸斂數。
6位： 549,94 5 (第一次嵌入略不同)
9位： 5 5 4，9 99，44 5
……
N位： 5 5К 49 9К 4К 5 N＝3＋3К
549,945稱為它們的數根.
第二類 由歸斂數派生歸斂
例2—2—1 8位歸斂數97，508，421分別逐次嵌入數組
7，2
5，4
1，8
後，分別得到10位、12位…… 的歸斂組（注：嵌入形式有別於例2—1—3）。
10位：
9，7 7 5，084，2 21
9，75 5，08 4，421
9，751，08 8，421
12位：
97 7，7 50，84 2，2 21
975，55 0，8 44，421
975，11 0，8 88，421
……
N位：
97 7К 5084 2К 21
975 5К 08 4К 421
975 1К 08 8К 421
N＝8+2К
97，508，421稱為它們的數根.
第三類 由歸斂組派生歸斂組
例2—3—1 8位數歸斂組
86，526，432
64，308，654
83，208，762
各數對應逐次嵌加數組
5，4
1, 8
7，2
後分別得到10位、12位…的歸斂組。
10位：
8，65 5，26 4，432
6，43 1，08 8，654
8，7 32，087，6 2 2
12位：
865，55 2，6 44，432
643，11 0，8 88，654
877，320，876，22 2
N位：
865 5К 26 4К 432
643 1К 08 8К 654
8 7К 320876 2К 2
……
N＝8＋2К
原8位數歸斂組
86，526，432
64，308，654
83，208，762
就稱為它們的數根.
例2—3—2 11位歸斂組
96，641，975，331
88，431，976，512
87，641，975，322
86，541，975，432
86，420，987，532
各數分別逐次嵌入8，6，4，2，9，7，5，3，1這9個數後分別得到20位、29位、38位…… 的歸斂組。
20位
98，666，44 2，19 9，7 75，5 3 3，31 1
88，864，4 32，19 9，7 76，5 53，1 12
8 8，76 6，4 4 2，19 9，7 75，53 3，212
8 8，6 6 5，4 42，19 9，7 75，54 3，31 2
8 8，6 6 4，4 2 2，09 9，8 7 7，5 5 3，3 1 2
……
N位:
9 8К 66 6К 4 4К 2К 19 9К 7 7К 5К 5 3К 33 1К 1
88 8К 6К 4 4К 3 2К 19 9К 7 7К 6 5К 5 3К 1К 12
8 8К 76 6К 4 4К 2К 19 9К 7 7К 5К 5 3К 32 1К 2
8 8К 6 6К 54 4К 2К 19 9К 7 7К 5К 54 3К 3 1К
8 8К 6 6К 4 4К 2 2К 09 9К 8 7К 7 5К 5 3К 3 1К 2
N＝11＋9К
原11位歸斂組
96，641，975，331
88，431，976，512
87，641，975，322
86，541，975，432
86，420，987，532
就稱為它們的數根.
第四類 由歸斂組派生歸斂數
例3—1—4 17位歸斂組
97，665，420，，987，543，321
98，654，320，987，654，311
98，764，320，987，653，211
98，765，431，976，543，211
88，754，320，987，654，212
這歸斂組5個數中任何一個數嵌入(7，2)、(5，4)、(1，8)當中的任何一個數對，經運算後均得到19位歸斂數9，876， 543，209，876，543，211。繼續嵌加，則又成為前述第二類派生。
2. 基礎數根
由上述可知,任意N位數的歸斂結果都是較少n位數的歸斂結果嵌加某些數派生而成（即如前述），因此，這些較少n位數的歸斂結果是派生所有任意N位數歸斂結果的基礎，稱它們為基礎數根。這又是本文的重要結論之一。
它們是以下8個：
1） n＝4 6，174
2） n＝6 549，945
3） ( n＝6 )數組
860，832
862，632
642，654
420，876
851，742
750，843
840，852
4） n＝8 97，508，421
5） (n＝8 )數組
86，526，432
64，308，654
83，208，762
6） n＝9 864，197，532
7） n＝11 數組
86，420，987，532
96，641，975，331
88，431，976，512
87，641，975，322
86，541，975，432
8） n＝13 數組
8，733，209，876，622
9，665，429，654，331
3．層狀組數結構
從歸斂結果可以看出，它們形成了有規律的層狀組數結構。
把奇位歸斂數的中間那個數稱中位數，偶位的中間那兩個數稱中位數，中位數的前段數字稱前段，後段數字稱後段。
中位數前、後相同位數上的兩個數稱數層，兩數之和稱層和。層和為8的層及其包容的所有數稱數核。層和為9的層稱普通層。唯有最外層的層和為10，稱飽和層。
例如 864，197，532 : 是9位數，屬奇位。 9稱中位數；197稱數核，864稱前段，532稱後段；(8，2)稱飽和層，(6，3)、(4，5)稱普通層。
9，975，084，201 : 是10位數，屬偶位。 08稱中位數；08又稱數核。 9975稱前段，4201稱後段；(9，1)稱飽和層，(9，0)、(7，2)、(5，4)稱普通層。
555，499，994，445 : 是12位，屬偶位。 99為中位數；499994稱數核。 555稱前段，445稱後段；(5，5)稱飽和層，(5，4)、(5，4)稱普通層。
總之，所有的歸斂結果都呈層狀組數結構。唯有3位歸斂數495和5位數歸斂組之一的
59，994
53，995
尚未形成完整的層狀組數結構。
4．派生歸斂結果的嵌數規律
（1）嵌入數 嵌入的數是特定的，共有3類。
第一類是數對型，有兩對： 1）9，0 2）3，6
第二類是數組型，有一組：
7，2
5，4
1，8
第三類是數字型，有兩個：
1） 5 9 4
2） 8 6 4 2 9 7 5 3 1
（2）嵌入方法
1）嵌入數的一部分嵌入前段中大於或等於嵌入數的最末一個數字的後鄰位置。另一部分嵌入後段相應位置_____使與嵌入前段的數形成層狀組數結構。
數對型：(9,0)、(3,6)的奇數9，3嵌入前段，偶數0，6嵌入後段。見例2—1—1， 2—1—2。
數組型： 7,2
5,4
1,8
的奇數7，5，1嵌入前段，偶數2，4，8嵌入後段。見例2—1—3， 2—2—1。
數字型：9嵌入數核，8642分開嵌入前段，7531分開嵌入後段。見例2—1—4，2—3—2。
594只能嵌入n＝3＋3К 這類數。 9嵌入數核，5嵌入前段，4嵌入後段。見例2—1—5。
2）飽和層外不能嵌加。 3位歸斂數的最外層層和為9，尚未 “飽和”，視為可嵌加，如例2—1—5。嵌加一次成6位數，最外層飽和了，以後則按上述規律派生。所以本文把549945而不是495作為基礎數根。
3）(9，0)、(3，6)兩對數可以獨對、兩對嵌入或與數組型、數字型組合嵌入。
4）數組
7，2
5，4
1，8
必須“配套”嵌入並按順序:
(7，2)→(5，4)→(1，8)
或 (5，4)→(1，8)→(7，2)
或 (1,8) →(7,2) →(5,4)。
以8位數歸斂組
86，526，432
64，308，654
83，208，762
為例說明。
A，各數均可嵌入（3，6）К，得n＝8＋2К位數的歸斂組。
865 3К 26 6К 432
643 3К 08 6К 654
83 3К 2087 6К 62
B, 各數可對應嵌入
(7，2) К
(5，4 )К，
(1，8) К
得n＝8＋2К位數的歸斂組。
8 7К 652643 2К 2
6 5К 430865 4К 4
832 1К 08 8
三、 歸斂結果的特點
通過以上的討論，可以總結歸斂結果的特點如下。
1．任意數A，其歸斂結果為B，B和A的位數相同。
2．歸斂結果的各數字之和是9的整數倍。如6174：6＋1＋7＋4＝18＝2×9。
1） 任意奇位數（n＝2k－1）和偶位數（n＝2k）的歸斂結果,其各數字之和均為 （k＋1）×9或k×9。
2）n＝3＋3k 位這類數的歸斂結果，無論奇、偶位數，其各位數字之和均為（2k×9。
3）前後兩段數字都是由大到小順序排列。
4）運算中，一次就能形成層狀組數結構而無論是否已成為歸斂結果。只有極少數例外。例如：任意n位數，其中一位為a，其餘n－1位為b（a≠b）如266…6。
5）同一個歸斂組中各數可按順序遞進交換。例如：
86，526，432
64，308，654
83，208，762，
可為
64，308，654
83，208，762
86，526，432
或為
83，208，762
86，526，432
64，308，654
6）歸斂結果的派生有如下傳遞性。
①簡單傳遞。如嵌加(3，6)、(9，0)、864297531的各種情況。見前述例子。
②順序傳遞。只有嵌加數組 7，2
5，4
1，8
的這一種情況.
傳遞順序是循環的7，2→5，4→1，8。當嵌入7，2，就必然也得到嵌入5，4和1，8的“配套”結果。當嵌入5，4，就必然也得到嵌入1，8和7，2的“配套”結果，等等。其餘類推。見例3—2—1。
③配套傳遞。嵌入
7，2
5，4
1，8
數對時，可分別嵌入一對、兩對、三對，但必須“配套”對應。例如 97，508，421的如下嵌入結果：
975 555 11 08 88 4 444 21
97 77 5 111 08 888 42 2 2 1
97 777 5 55 08 44 4 2 22 2 1
其中，К1＝0，К2＝3，К3＝2，К＝К1＋К2＋К3＝5。
位數N＝8＋2К＝8＋2·5＝18
可記為
97 7К1 5 5К2 1К3 08 8К3 4К2 4 2К121
97 7К3 5 5К1 1К2 08 8К2 4К1 4 2К3 2 1
97 7К2 5 5К3 1К1 08 8К1 4К34 2К2 2 1
④組合傳遞。以上各種傳遞的組合。例如50位歸斂組之一：
99，988，776，655，554，433，333，322，099，877，666，666，554，444，332，211，001
99，988，766，554，433，333，322，111，099，888，877，666，666，554，433，211，001
99，988，777，766，544，333，333，221，099，887，766，666，655，433，222, 211，001
分析可知，它是以n＝8 的 8位數的歸斂數 97，508，421 作為數根，嵌加
(9，0) 2次
（К′＝2），
(3，6)6次（К″＝6），
(864297531) 2次（К′″＝2），
以及數組 7，2（К1＝1）,
5，4（К2＝3）
1，8（К3＝0）。
N＝8＋2×2＋2×6＋9×2＋2×1＋2×3＋2×0＝50（位）。
當然該歸斂組還可以分析為其它的數根和派生。
⑤唯一傳遞。僅有n＝3＋3k類嵌加594的情況。見例2—1—5。
歸斂結果的以上特點可用於運算或者派生結果的設計、檢查、驗證等。
通過以上的討論，可以總結歸斂結果的特點如下。
1．任意數A，其歸斂結果為B，B和A的位數相同。
2．歸斂結果的各數字之和是9的整數倍。如6174：6＋1＋7＋4＝18＝2×9。
1） 任意奇位數（n＝2k－1）和偶位數（n＝2k）的歸斂結果,其各數字之和均為 （k＋1）×9或k×9。
2）n＝3＋3k 位這類數的歸斂結果，無論奇、偶位數，其各位數字之和均為（2k×9。
3）前後兩段數字都是由大到小順序排列。
4）運算中，一次就能形成層狀組數結構而無論是否已成為歸斂結果。只有極少數例外。例如：任意n位數，其中一位為a，其餘n－1位為b（a≠b）如266…6。
5）同一個歸斂組中各數可按順序遞進交換。例如：
86，526，432
64，308，654
83，208，762，
可為
64，308，654
83，208，762
86，526，432
或為
83，208，762
86，526，432
64，308，654
6）歸斂結果的派生有如下傳遞性。
①簡單傳遞。如嵌加(3，6)、(9，0)、864297531的各種情況。見前述例子。
②順序傳遞。只有嵌加數組 7，2
5，4
1，8
的這一種情況.
傳遞順序是循環的7，2→5，4→1，8。當嵌入7，2，就必然也得到嵌入5，4和1，8的“配套”結果。當嵌入5，4，就必然也得到嵌入1，8和7，2的“配套”結果，等等。其餘類推。見例3—2—1。
③配套傳遞。嵌入
7，2
5，4
1，8
數對時，可分別嵌入一對、兩對、三對，但必須“配套”對應。例如 97，508，421的如下嵌入結果：
975 555 11 08 88 4 444 21
97 77 5 111 08 888 42 2 2 1
97 777 5 55 08 44 4 2 22 2 1
其中，К1＝0，К2＝3，К3＝2，К＝К1＋К2＋К3＝5。
位數N＝8＋2К＝8＋2·5＝18
可記為
97 7К1 5 5К2 1К3 08 8К3 4К2 4 2К121
97 7К3 5 5К1 1К2 08 8К2 4К1 4 2К3 2 1
97 7К2 5 5К3 1К1 08 8К1 4К34 2К2 2 1
④組合傳遞。以上各種傳遞的組合。例如50位歸斂組之一：
99，988，776，655，554，433，333，322，099，877，666，666，554，444，332，211，001
99，988，766，554，433，333，322，111，099，888，877，666，666，554，433，211，001
99，988，777，766，544，333，333，221，099，887，766，666，655，433，222, 211，001
分析可知，它是以n＝8 的 8位數的歸斂數 97，508，421 作為數根，嵌加
(9，0) 2次
（К′＝2），
(3，6)6次（К″＝6），
(864297531) 2次（К′″＝2），
以及數組 7，2（К1＝1）,
5，4（К2＝3）
1，8（К3＝0）。
N＝8＋2×2＋2×6＋9×2＋2×1＋2×3＋2×0＝50（位）。
當然該歸斂組還可以分析為其它的數根和派生。
⑤唯一傳遞。僅有n＝3＋3k類嵌加594的情況。見例2—1—5。
歸斂結果的以上特點可用於運算或者派生結果的設計、檢查、驗證等。
例如n＝10時共有9×109個數(10的9次方)，其歸斂結果也為10位，其歸斂結果的那兩個數和三個數組的數必然包羅在這9×109個數(10的9次方)之中，即已“隱藏”其中，運算只不過是把它們找出來。
歸斂有以下幾點是顯而易見的：
1．若干個數字相同而數字的位序不同的數，運算中重新排序必然得到同一個max和同一個min，max－min也就相同，必然歸斂得同一結果。
例如n＝8的9×107個數,其中的一個數12，345，678，它的排列有8﹗ =40320個數，這40320個數運算必然歸斂為同一個結果（max－min＝87654321－12345678的最後歸斂結果）。
2．一些“對稱性”數，會歸斂到同一結果。
例如1,111,000,000排列成的84個數和1,111,110,000排列成的126個共210個數；
3,339,999,999排列成的210個數和3,333,333,999排列成的210個共420個數；
99,911,000，99,922,000，99,933,000…，99,988,000分別排列成的350個共2800個數。它們的max－min分別相同，必然分別歸斂到各自的同一個結果。等等.
3．同一個數，各位分別加1或減1（加、減中不能進位或借位），其max－min相同，也必然歸斂到同一個結果。如6位數的543210，其全排列有6﹗ -5﹗ =600個數，各位加1得到654321，繼續加1得到765432，876543，987654，分別各排列成720個共3480個數。它們必然歸斂到同一個結果（max－min＝530865的最後歸斂結果）。
所有的數的歸斂結果的形成，都是運算中重新排序為max、min及max－min使之逐漸“逼近”、“靠攏”到歸斂結果。
四、 結論
由本文以上的討論，可以提出以下結論：任意n位的數，經過卡普雷卡爾運算都能得到具有前述特點的歸斂結果（形成“黑洞”並“落”入“黑洞”）。
還可以提出如下可能性：
1．在確定數根以後，不經運算就能設計出（即直接派生出）任意指定位數的某些歸斂結果。
2．給出任意位數的歸斂結果，可以推算出其前的較少位數或其後的較多位數的歸斂結果的派生路線、派生結果和數根。
本文以上的討論及其結論，筆者還推及負整數，正、負實小數（排除無限小數），均可適用。
以上討論，運算均獲成功，但尚未嚴密論證。供有興趣者共同探索和指正。
參考文章:
1, 美國《新科學家》，1992，12，19
2, 中國《參考消息》，1993，3，14-17
(注:打字中和數字校核中可能有錯誤,敬請指正)
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